Kostenfunktionen: Einführung, Aufbau und Rechenbeispiel

Das Thema „Kostenfunktionen“ findet sich unter anderem im Prüfungsteil „Rechnungswesen“ der Wirtschaftsbezogenen Qualifikationen (IHK) wider. Sie sind eigentlich gar nicht so kompliziert oder umfangreich, aber oftmals etwas ungewohnt.

Vor allem wenn man sich länger nicht mit Funktionen beschäftigt hat, braucht es ein wenig Übung, um die Grundidee wieder zu verinnerlichen. Daher kann es keinesfalls schaden, den Ansatz vor der Prüfung nochmal aufzufrischen. Sonst erlebst du im Ernstfall eine böse Überraschung und verlierst wertvolle Punkte.

Wozu braucht man eine Kostenfunktion?

Hinter der Kostenfunktion steckt folgende Idee: Du entwickelst eine konkrete Gleichung für die Gesamtkosten eines Unternehmens, in der sowohl die Fixkosten als auch die variablen Kosten berücksichtigt werden. In diese Gleichung kannst du dann die Produktionsmenge eines Unternehmens einsetzen und erhältst sofort die Gesamtkosten.

Eine fertige Gesamtkostenfunktion (den Weg dorthin schauen wir uns gleich an) könnte etwa so aussehen:

\(K = 13.000 \text{ €} + 10,50 \text{ €} \cdot x\)Die 13.000 € stellen dabei die Fixkosten dar, während die 10,50 € den variablen Kosten pro Stück entsprechen. In diese Formel kann die Produktionsmenge x eingesetzt werden, um die Gesamtkosten zu ermitteln. Bei 2000 Produkten wären das beispielsweise:

\(K = 13.000 \text{ €} + 10,50 \text{ €} \cdot 2000 = 13.000 \text{ €} + 21.000 \text{ €} = 34.000 \text{ €}\)Der „Knackpunkt“ der Kostenfunktionen: Je nach Unternehmen sind sowohl die Fixkosten als auch die variablen Stückkosten unterschiedlich. Man benötigt also für jeden Betrieb eine eigene Kostenfunktion.

Genau das ist die Herausforderung in den Prüfungsaufgaben.

Wie ist eines Kostenfunktion aufgebaut?

In der Prüfung musst du meist die Grundstruktur einer Kostenfunktion mit Leben füllen und konkretisieren. Gegebenenfalls sollst du die Formel anschließend mit einer vorgegebenen Produktionsmenge anwenden.

Dazu benötigst du zuallererst die Grundstruktur einer Kostenfunktion. Sie lautet:

\(\text{Gesamtkosten} = \text{Fixkosten} + \text{variable Stückkosten} \cdot \text{Stückzahl}\)oder in Kurzform:

\(K = K_f + k_v \cdot x \)Du siehst daran, dass sich die Gesamtkosten K aus den Fixkosten K_f und den variablen Kosten zusammensetzen. Die variablen Kosten ergeben sich wiederum aus den variablen Stückkosten k_v multipliziert mit der jeweiligen Produktmenge x.

Je mehr Produkte hergestellt werden, desto höher sind die variablen Kosten und folglich auch die Gesamtkosten. Die Fixkosten bleiben jederzeit gleich, egal wie groß oder klein die Produktionsmenge ausfällt.

Der Weg zur Kostenfunktion

Um solch eine Kostenfunktion aufzustellen, benötigst du zwei Informationen:

• die gesamten Fixkosten
• die variablen Kosten pro Stück

Mit diesen Werten ist die Funktion bereits komplett. Wie du an die einzelnen Daten herankommst, unterscheidet sich von Aufgabe zu Aufgabe. Hast du Glück, findet sich eine Kennzahl in der Aufgabenstellung und du kannst sie direkt in die Gleichung einsetzen.

Andernfalls musst du ein wenig rechnen, was wir uns an typischen Prüfungsfragen der Wirtschaftsbezogenen Qualifikationen (IHK) genauer ansehen wollen. Am häufigsten wird es dort auf diese drei Varianten hinauslaufen:

Variante 1: Von den Gesamtkosten zum Pro-Stück-Wert

Wie du wahrscheinlich weißt, gibt es nicht nur variable Stückkosten, sondern auch variable Gesamtkosten. In einer Prüfungsaufgabe zu den Kostenfunktionen könnte es also vorkommen, dass du die variablen Gesamtkosten gegeben hast und zusätzlich weißt, auf wie viele Produkte sich diese Ausgaben beziehen.

Dann kannst du mit einer einfachen Division (gesamte variable Kosten geteilt durch die Stückzahl) auf die variablen Stückkosten schließen und diesen Wert in deine Kostenfunktion einsetzen.

Variante 2: Fixkosten aus den Gesamtkosten ermitteln

Die Kostenfunktion gibt die Gesamtkosten immer in allgemeiner Form und unabhängig von konkreten Produktzahlen an. In den Aufgabenstellungen wäre es daher denkbar (und ist bereits vorgekommen), dass dir die Werte für eine konkrete Ausgangssituation vorgegeben werden.

Dann weißt du beispielsweise, dass die Gesamtkosten für 1000 Stück bei 12.000 € liegen und die gesamten variablen Kosten bei 7000 €.

Mit diesem Wissen kannst du einerseits die Fixkosten ableiten: 12.000 € - 7000 € = 5000 €, also Gesamtkosten abzüglich der variablen Kosten ergibt die Fixkosten.

Andererseits bietet sich die Rechnung an, die du eben kennengelernt hast. Wenn 1000 Stück variable Gesamtkosten von 7000 € verursachen, dann muss der Pro-Stück-Wert bei 7000 € ÷ 1000 = 7 € liegen.

Die komplette Gesamtkostenfunktion lautet also: K = 5000 € + 7 € · x.

Variante 3: Variable Stückkosten aus Preis und Stückdeckungsbeitrag

Ein weiterer, typischer Weg, um die variablen Stückkosten zu ermitteln, ergibt sich aus der Deckungsbeitragsrechnung. Dazu benötigst du den Zusammenhang zwischen Preis, variablen Stückkosten und Stückdeckungsbeitrag. Er lautet:

\(\text{Stückdeckungsbeitrag} = \text{Stückpreis} - \text{variable Stückkosten}\)Sobald dir zwei der Werte bekannt sind, brauchst du nur noch einen Rechenschritt für die letzte Kennzahl.

Im Fall der Kostenfunktion benötigst du in der Regel den Nettoverkaufspreis und den Stückdeckungsbeitrag. Dann kannst du den Stückdeckungsbeitrag vom Preis abziehen und erhältst die variablen Stückkosten, die du wiederum in deine Kostenfunktion einsetzen kannst.

Rechenbeispiel für Kostenfunktionen

Nun wird es Zeit für ein kleines Rechenbeispiel. Lass uns die folgende Situation analysieren:

Bei einer Produktionsmenge von 600 Stück verzeichnet ein Unternehmen Gesamtkosten in Höhe von 3300 €. Davon fallen 2100 € in die Kategorie der variablen Kosten. Wie lautet die Kostenfunktion des Betriebs?

Um die gesuchte Funktion aufzustellen, müssen wir zwei Informationen ermitteln: die Fixkosten und die variablen Stückkosten. Dazu können wir zwei der Wege nehmen, die wir uns eben theoretisch angeschaut haben.

Schritt 1: Berechnung der Fixkosten

Wir nutzen das Wissen über die Gesamtkosten (3300 €) und die variablen Gesamtkosten (2100 €). Die Differenz der beiden Werte muss zwangsläufig den Fixkosten entsprechen, also gilt:

Schritt 2: Berechnung der variablen Stückkosten

Für die variablen Stückkosten benötigen wir die variablen Gesamtkosten (2100 €) und die dazugehörige Produktzahl (600 Stück). Dann teilen wir die Kosten durch die Stückzahl und erhalten die gesuchten Pro-Stück-Kosten, also:

 Schritt 3: Kostenfunktion aufstellen

Jetzt haben wir alle Daten, um die Grundform einer Kostenfunktion mit Leben zu füllen. Zur Erinnerung nochmal die Basisvariante:

\(K = K_f + k_v \cdot x\)Dort setzen wir unsere beiden Zahlen ein und erhalten:

\(K = 1200 \text{ €} + 3,50 \text{ €} \cdot x\)Für x können wir nun jede beliebige Produktmenge einsetzen und erhalten die zugehörigen Gesamtkosten, beispielsweise:

850 Stück:

\(K = 1200 \text{ €} + 3,50 \text{ €} \cdot 850 = 1200 \text{ €} + 2975 \text{ €} = 4175 \text{ €}\)1000 Stück:

\(K = 1200 \text{ €} + 3,50 \text{ €} \cdot 1000 = 1200 \text{ €} + 3500 \text{ €} = 4700 \text{ €}\)1200 Stück:

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